Sistema di numerazione esadecimale

Il sistema esadecimale, hexadecimal in inglese, spesso abbreviato hex, cioè a base 16, viene usato in informatica probabilmente anche più del binario. Ha tanti vantaggi fra cui quello di essere comodo, che non è da sottovalutare.

Ogni numero in esadecimale è formato da cifre che possono avere 16 valori. Per rappresentare i valori da zero a nove usiamo le cifre classiche, 0 … 9.

Per rappresentare i valori da dieci a quindici usiamo le prime 6 lettere dell’alfabeto:

  • A = 10
  • B = 11
  • C = 12
  • D = 13
  • E = 14
  • F = 15

Usare le maiuscole o le minuscole è indifferente. In questo corso useremo sempre le maiuscole ma su internet possiamo trovare facilmente numeri o codici esadecimali che usano le minuscole.

  1. Contare in esadecimale
  2. Da esadecimale a decimale
  3. Da decimale a esadecimale
  4. Esadecimale sul web

Contare in esadecimale

Siamo in un sistema di numerazione in cui dopo il 9 viene A e una volta raggiunto F torniamo a 0 con riporto di 1.

Contiamo ad esempio i primi 20 numeri, partendo da 0:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13 …

Continuiamo:

… 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, 22, 23, 24 …

Notiamo come dopo il 9 venga A e solo dopo F venga 0.

… 58, 59, 5A, 5B, 5C, 5D, 5E, 5F, 60, 61, 62 …

Anche la prima cifra, arrivata a 9, va incrementata con A:

… 99, 9A, 9B, 9C, 9D, 9E, 9F, A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, AA, AB, AC, AD, AE, AF, B0, B1, B2, B3 …

Per finire, arrivati a FF passiamo a 100:

… FB, FC, FD, FE, FF, 100, 101, 102, …

I primi 256 numeri si scrivono da 0 (0) a FF (255).

256 in informatica è una cifra molto tonda, in quanto è una potenza del 2, per la precisione 2^8, e anche 8 stesso è una potenza del 2. In quanto un byte contiene 8 bit, con i numeri esadecimali da 00 a FF si possono scrivere facilmente tutti i possibili valore che un byte può avere.

Dividendo il byte in 2 metà, una con i 4 bit più alti e l’altra con i 4 bit più bassi, la prima cifra esadecimale indica il valore dei bit alti, la seconda cifra il valode dei bit bassi.

Più comodo di così? 😊

Da esadecimale a decimale

Così come per i numeri decimali e binari, possiamo scomporre un numero esadecimale in potenze del 16 e convertirlo in decimale, ricordandosi sempre il valore decimale corrispondente alle lettere da A a F.

Esempio:

0xA5E = 10 * 16^2 + 5 * 16^1 + 14 * 16^0
  321

Abbiamo indicato per chiarezza le posizioni, che corrispondono agli esponenti delle potenze del 16, e il prefisso 0x convenzionalmente usato per indicare un numero esadecimale e non confonderlo con un numero di un altro sistema di numerazione. Abbiamo usato 0b per i binari. Il prefisso non ha alcun effetto nei calcoli e va ignorato.

Notiamo anche che A è stato scritto come 10 mentre E è stato scritto come 14 in decimale.

Completiamo il calcolo:

0xA5E = 10 * 256 + 5 * 16 + 14 = 2560 + 80 + 14 = 2654

Il numero esadecimale A5E corrisponde al decimale 2654.

I calcoli sono più complessi che per il binario, ma il procedimento è lo stesso.

Altri esempi:

0x8C0 = 8 * 16^2 + 12 * 16
      = 8 * 256  + 12 * 16 = 2048 + 192 = 2240

0x9AA3 = 9 * 16^3 + 10 * 16^2 + 10 * 16^1 + 3 * 16^0
       = 9 * 4096 + 10 * 256  + 10 * 16   + 3 = 36864 + 2560 + 160 + 3 = 39587

0xC007A = 12 * 16^4  + 7 * 16^1 + 10 * 16^0
        = 12 * 65536 + 7 * 16   + 10 = 786432 + 112 + 10 = 786554

Bastano poche cifre esadecimali per creare numeri decimali molto grandi.

Alcuni numeri speciali:

  0x0 = 0
  0x4 = 4
  0x8 = 8
  0xC = 12
 0x10 = 16
 0x40 = 64
 0x80 = 128
 0xC0 = 192
0x100 = 256

Notate che in esadecimale 80 (128) è la metà di 100 (256) così come 8 è la metà di 10 (16). Sembra strano ma non lo è, se si considera che dopo l’8 vengono altre 8 cifre e non 2 prima di arrivare a 10.

Da decimale a esadecimale

Come per il caso binario, la conversione da decimale e esadecimale si effettua calcolando il resto delle divisioni. Questa volta si usa la base 16 invece che 2, quindi le divisioni saranno per 16. Il resto è un numero che va da 0 a 15 ed è un po’ più difficile calcolarlo a mente rispetto al binario, quindi si effettua un passaggio in più per calcolare il resto.

I resti delle divisioni letti dal basso verso l’alto compongono il numero esadecimale. I resti da 10 a 15 vanno indicati con le lettere da A a F.

Esempio, convertiamo 2654 in esadecimale. Dall’esempio precedente sappiamo che il risultato dovrà essere A5E ma vediamo come calcolarlo.

2654 / 16 = 165 con resto 14
 165 / 16 =  10 con resto 5
  10 / 16 =   0 con resto 10

Ci fermiamo quando otteniamo il quoziente 0, ricordandoci però di considerare il resto di quest’ultima divisione.

Leggendo i resti dal basso verso l’alto e convertendo i resti da 10 a 15 in lettere otteniamo A5E, che è il numero esadecimale cercato.

Come si calcola il resto? Facciamo alcuni passaggi in più:

2654 / 16 = 165, rimoltiplichiamo 165 * 16 = 2640, calcoliamo 2654 - 2640 =  14 = 0xE.
 165 / 16 =  10, rimoltiplichiamo  10 * 16 =  160, calcoliamo  165 -  160 =   5 = 0x5.
  10 / 16 =   0, rimoltiplichiamo   0 * 16 =    0, calcoliamo   10 -    0 =  10 = 0xA.

Per calcolare il resto moltiplichiamo il risultato della divisione per 16 e lo sottraiamo dal valore iniziale. Questo altro non è che la definizione stessa di resto.

Possiamo rappresentare questa catena di divisioni in un modo più agevole, eliminando la dicitura diviso 16 e lasciando solo i resti, con una colonna in più per agevolare il calcolo:

Valore Resto della divisione per 16 Calcolo del resto
2654 E (14) 2654 - 165 * 16 = 2654 - 2640 = 14
165 5 165 - 10 * 16 = 165 - 160 = 5
10 A (10) 10 - 0 * 16 = 10 - 0 = 10
0    

Se i conti diventano troppo complessi possiamo aiutarci con una calcolatrice. Per il calcolo conviene prima fare tutte le divisioni per 16, la prima colonna, e poi calcolare tutti i resti, la terza e poi la seconda colonna.

Facciamo un altro esempio con il numero 2240 già visto prima.

Valore Resto della divisione per 16 Calcolo del resto
2240 0 2240 - 140 * 16 = 2240 - 2240 = 0
140 C (12) 140 - 8 * 16 = 140 - 128 = 12
8 8 8 - 0 * 16 = 8 - 0 = 8
0    

Leggendo i resti dal basso verso l’alto otteniamo 8C0, che è il numero esadecimale cercato. Zero è un resto valido.

Facciamo un altro esempio con il numero 39587 già visto prima.

Valore Resto della divisione per 16 Calcolo del resto
39587 3 39587 - 2474 * 16 = 39587 - 39584 = 3
2474 A (10) 2474 - 154 * 16 = 2474 - 2464 = 10
154 A (10) 154 - 9 * 16 = 154 - 144 = 10
9 9 9 - 0 * 16 = 9 - 0 = 9
0    

Leggendo i resti dal basso verso l’alto otteniamo 9AA3, che è il numero esadecimale cercato.

Facciamo un altro esempio con l’ultimo numero 786554 già visto prima.

Valore Resto della divisione per 16 Calcolo del resto
786554 A (10) 786554 - 49159 * 16 = 786554 - 786544 = 10
49159 7 49159 - 3072 * 16 = 49159 - 49152 = 7
3072 0 3072 - 192 * 16 = 3072 - 3072 = 0
192 0 192 - 12 * 16 = 192 - 192 = 0
12 C (12) 12 - 0 * 16 = 12 - 0 = 12
0    

Leggendo i resti dal basso verso l’alto otteniamo C007A, che è il numero esadecimale cercato.

Esadecimale sul web

(in via di pubblicazione)